Jenis-jenis Fungsi Matematika

Jenis-jenis fungsi

1.        Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂   dengan a₁ tidak sama dengan a₂berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi injektif (satu-satu)

2.         Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu adalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi surjektif (onto)

3.             Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

4.             Fungsi Invers

Misalkan f : A ® B

Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f^-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f^-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f^-1 :A® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1

ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y

TEOREMA
f : A ® B dan f^-1 : B ® A

f^-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
   f    f^-1         
A ® B ® A
  (f^-1 o f)

f o f^-1 : B ® B : fungsi identitas di B
  f^-1   f
B ® A ® B
 (f o f^-1)

contoh: Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f^-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f^-1(y))
x = (y+3)/2
f^-1(x) = (x+3)/2

5.        Fungsi Komposisi

 Suatu Fungsi f dengan daerah asal D_f dan daerah hasil R_f dan fungsi g dengan daerah asal Dg dan daerah hasil Rg untuk “f komposisi g” dilambangkan f o g = {(x,y) | x ε D_g, y ε R_f dan y = f(g(x))} dimana D_g ∩ R_f ≠ Ø .

Contoh :

f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x² – 1,  maka

f o g (x) = 2 (x² – 1) + 5 = 2x² – 2 + 5 = 2x² + 3

g o f (x) = (2x+5)² – 1 = 4x² + 20x + 25 – 1 = 4x² + 20x + 24

Kata kunci :

#  f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x)

#  g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x)

6.        Fungsi  Eksponensial

Salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau e^x, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain

Contoh:

7.        Fungsi Linier

fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus.

Bentuk umum persamaan linier adalah :

y = a + bx

dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.

Misalkan diketahui titik A(2,3) dan titik B(6,5), maka persamaan liniernya:

4y -12 = 2x – 4, 4y = 2x+ 8 , y = 2 + 0,5 x

Cara koordinat-lereng

Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x₁,y₁) dan lereng garisnya b, maka persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal :

Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah

8.        Fungsi kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0

Sumbu simetri : x = -b/(2a)

Nilai maksimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a < 0

Nilai minimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a > 0

Koordinat titik puncak (-b/(2a), -D/(4a))

Menyusun fungsi kuadrat

1. Fungsi kuadrat yang melalui titik (a, 0) dan (b, 0) adalah

y = a(x - a)(x - b)

2. Fungsi kuadrat yang memiliki koordinat puncak (a, b) adalah

y - b = a(x - a)²

Sifat-sifat koefisien fungsi kuadrat :

a> 0 è parabola membuka ke atas

a < 0 è parabola membuka ke bawah

c > 0 è parabola memotong sumbu y positif

c < 0 è parabola memotong sumbu y negatif

c = 0 è parabola melalui (0, 0)

Diskriminan , D = b² – 4ac

D > 0 parabola memotong sumbu x di dua titik

D = 0 parabola menyinggung sumbu x

D < 0 parabola tidak memotong sumbu x

Contoh:

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
dengan syarat : x + 2y £ 4
                      x- y£ 4
                      x ³ 1
                      y ³ -1

Langkah :
® Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
   Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
   A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
®Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
- Nilai maksimum = 9  1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2). 
- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).

9.    Fungsi limit

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat padap, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsif dikatakan tidak memiliki limit.